AAM  >> Vol. 7 No. 5 (May 2018)

    多元Whittaker-Shannon采样展开的截断误差
    Truncation Errors for Multi-Dimensional Whittaker-Shannon Sampling Expansion

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作者:  

王桐心:王桐心,陈 锦,陆文静,韩永杰;
陈 锦,陆文静,韩永杰:西华大年夜学理学院,四川 成都

关键词:
无限带宽函数Whittaker-Shannon定理部分采样截断误差Band-Limited Functions Whittaker-Shannon Theorem Localized Sampling Truncation Error

摘要:

本文应用线性泛函构造采样级数,研究了一个覆盖几个误差的通用模型。并推敲了在无衰减假定条件下,Paley-Wiener函数类B2V(ℝd)的截断误差的最优界线。

In this paper, we study a general model that uses linear functionals to cover several errors in one formula, consider sampling series with measured sampled values for band limited signals without decay assumption, and obtain the optimal bounds of truncation errors for band limited signal functions from Paley-Wiener spaceB2V(ℝd).

1. 引言

L p ( d ) 1 p ,表示付与以下范数的全部在 d 上具有p次勒贝格可积函数所构成的空间。其范数可表示为

f L p : = { ( R d | f ( t ) p | d t ) 1 / p , 1 p < , esssup t R d | f ( t ) | , p = .

Z d = { 1 , 2 , 3 , , d } 。假设关于随便任性的正坐标向量 v : = ( υ j : j Z d ) ,且对 ε > 0 都存在一个正整数c,使得对一切的复向量 z : = ( z j : j Z d ) d ,有

| h ( z ) | c exp ( j Z d ( υ j + ε ) | z j | ) .

则称h是指数型 v 的整函数。

我们用 E v ( d ) 表示一切指数型 v 的整函数所构成的空间。令 B v ( R d ) E v ( d ) 的子空间,并且在 d 上是有界的。关于随便任性的 1 p ,我们记

B v p ( d ) : = B v ( d ) L p ( d ) .

关于向量 v = ( υ j : j Z d ) + d ,有以下矩形:

v = υ e , υ R + ,我们用 I υ d 来表示。根据Schwartz定理,我们有

B v p ( R d ) = { f L p ( R d ) : sup p f ^ I v d }

个中,f是f在分布意义下的傅里叶变换。特别地,当 p = 2 时,它就是典范的Paley-Wiener定理 [1] 。

有名的Whittaker-Shannon采样定理描述的是关于每个旌旗灯号函数 f B υ 2 ( ) 可以被实际的采样值 { k / υ } k Z 完全的重构 [2] 。房艮孙 [3] 取得了多维的Whittaker-Shannon表示定理。

定理A 令 f B v p ( d ) , 1 < p < 。那么关于随便任性的 t d

f ( t ) = ( S v f ) ( t ) : = k d f ( k v ) sin c ( v t k ) , (1)

个中, v t : = ( υ 1 t 1 , , υ d t d ) 。公式(1)左边的级数在 d 上完全分歧收敛。

在实际情况下,我们只要无限多个采样值可用,是以就产生了截断误差

| f ( t ) | k d | N d | k 1 | N 1 f ( k v ) sin c ( v t k ) |

在假定f满足衰减条件 | f ( t ) | C | t | δ 下的截断误差曾经被广泛的研究,个中 δ > 0 [4] [5] 。

为了取得我们的重要成果,我们须要误差模量

Ω v ( f , λ ) : = sup | λ k f ( + k / v ) f ( k / v ) | , Ω > 0

个中 λ = { λ k } 是持续线性泛函 C 0 ( d ) 的随便任性序列, C 0 ( d ) 是定义在 d 上一切持续且趋于零的函数所构成的Banach空间。假设没有出现混淆,我们可以将 Ω v ( f , λ ) 写为 Ω ( f , λ ) 。误差模量 Ω 为一个旌旗灯号的丈量采样值的质量供给了一个量。当这个函数的 λ 是详细的,我们可以对 Ω 取得一些公道的估计。采样值的采样级数可表示为

( S v λ f ) ( t ) : = λ k f ( + k / v ) sin c ( v t k ) .

本文受文献 [6] [7] [8] 研究内容的启发,以部分采样为基本,用不合的方法截断上式中右真个级数。

关于任何 N d ,我们推敲无限和

( S v , N λ f ) ( t ) : = k-v t I N d λ k f ( + k / v ) sin c ( v t k ) ,

个中, sin c ( t ) = j = 1 d sin c ( t j ) , t d 。照应的截断误差定义以下:

鄙人文中,我们用C来表示正常数。个中C与 N , v 有关。

2. 无限带函数的截断误差

平日在研究无限带函数的截断误差时,假定旌旗灯号函数满足某些衰减条件。在本文中,我们将对 B v p ( d ) 函数应用Marcinkiewicz类型不等式来代替衰变条件。

引理2.1. [1] [9] 令 1 p < , f B v p ( d ) 。那么我们有

( 1 j = 1 d υ j k d | f ( k v ) | p ) 1 / p C f L p . (2)

定理2.1. 令 f B υ e p ( d ) , 1 p < , Ω υ ( d + 1 ) r + d / p ,则对随便任性的 t d ,有

( E υ e , N e λ f ) ( t ) C υ r + d / p ln d υ ,

个中, e = ( 1 , , 1 )

为了证明定理2.1,我们须要 k d | sin c ( t k ) | q 的界线。

引理2.2. [4] 令 d 1 , q > 1 。则对随便任性的 t d ,我们有

k d | sin c ( t k ) | q ( q q 1 ) d . (3)

定理2.1的证明: 由定理A我们有.则由Hölder不等式对常数p我们有

( E υ e , N e λ f ) ( t ) I 1 + I 2

个中

I 1 = ( v t k I N e d | f ( k υ ) | p ) 1 / p ( v t k I N e d | sin c ( υ t k ) | q ) 1 / q , (4)

I 2 = ( v t k I N e d | f ( k υ ) λ k f ( + k / v ) | p ) 1 / p ( v t k I N e d | sin c ( υ t k ) | q ) 1 / q . (5)

1 p + 1 q = 1 , p 1

h ( t ) = ( v t k I N e d | sin c ( υ t k ) | q ) 1 / q ,

个中 h ( t + m / υ ) = h ( t ) , t d m d 。是以我们须请求 t [ 0 , 1 / υ ] d 。根据

{ k : k I N e d } j = 1 d { k : k j [ N , N ] }

v t k I N e d | sin c ( υ t k ) | q j = 1 d k j ( N , N ] | sin c ( υ t i k j ) | q i Z d \ j k i | sin c ( υ t i k i ) | q . (6)

l ( t ) = ( k ( N , N ] | sin c ( υ t k ) | q ) 1 / q .

对随便任性 t [ 0 , 1 / υ ]

l ( t ) ( C k ( N , N ] 1 | k | q ) 1 / q ( C N t q d t ) 1 / q C N 1 / P .

由(2)(3)(6)式,我们有

I 1 C ( υ d N ) 1 / p f L p . (7)

对指数 ln ( 2 N + 1 ) 和引理2.2应用Hölder不等式,我们有

v t k I N e d | sin c ( υ t k ) | C ln d N .

然后我们有

I 2 C ( 2 N + 1 ) d / p Ω ln d N . (8)

结合(7)式和(8)式得

( E υ e , N e λ f ) ( t ) C ( ( υ d / N ) 1 / P f L p + N d / p Ω ln d N ) . (9)

N = [ υ r p ] ,则

( E v e , N e λ f ) ( t ) C υ r + d / p ln d υ .

是以定理2.1的证明完成了。

基金项目

国度天然迷信基金赞助项目(项目编号:15233593)。

文章援用:
王桐心, 陈锦, 陆文静, 韩永杰. 多元Whittaker-Shannon采样展开的截断误差[J]. 应用数学停顿, 2018, 7(5): 525-529. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.75064

参考文献

[1] Nikolskii, S.M. (1975) Approximation of Functions of Several Variables and Imbedding Theorems. Springer-Verlag, Ber-lin/Heidelberg, New York.
[2] Shannon, C.E. (1948) A Mathematical Theory of Communication. Bell System Technical Journal, 27, 397-423, 623-656.
[3] Wang, J.J. and Fang, G.S. (1996) Multidimensional Sampling Theorem and Estimate of Aliasing Error. ACTA Mathematicae Applicatae Sinica, 19, 481-488. (In Chinese)
[4] Li, X.M. (1998) Uniform Bounds for Sampling Expansions. Journal of Approximation Theory, 93, 100-113.
https://doi.org/10.1006/jath.1996.3090
[5] Long, J.F. and Fang, G.S. (2003) On Uniform Truncation Error Bounds and Aliasing Error for Multidimensional Sampling Expansion. Sampling Theory in Signal and Image Processing, 2, 103-115.
[6] Helms, H.D. and Thomas, J.B. (1962) Truncation Error of Sampling-Theorem Expansions. Proceedings of the IRE, 50, 179-184.
https://doi.org/10.1109/JRPROC.1962.287980
[7] Jagerman, D. (1966) Bounds for Truncation Error of the Sampling Expansion. SIAM Journal on Applied Mathematics, 14, 714-723.
https://doi.org/10.1137/0114060
[8] Micchelli, C.A., Xu, Y.S. and Zhang, H.Z. (2009) Optimal Learning of Bandlimited Functions from Localized Sampling. Journal of Complexity, 25, 85-114.
https://doi.org/10.1016/j.jco.2009.02.005
[9] Boas Jr., R.P. (1954) Entire Functions. Academic Press, New York.