IJM  >> Vol. 8 No. 1 (March 2019)

    基于谱办法的矩形薄板自在振动分析
    Free Vibration Analysis of Rectangular Thin Plates Based on Spectral Method

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作者:  

赵中凯,张君华:北京信息科技大年夜学,电机工程学院,北京;
刘彦琦:北京市休息保护迷信研究所,北京

关键词:
谱办法自在振动切比雪夫多项式矩形薄板Spectral Method Free Vibration Chebyshev Polynomials Rectangular Thin Plates

摘要:

提出了一种无刚度矩阵及无质量矩阵的切比雪夫谱办法,基于该办法研究了四边固支矩形薄板的自在振动特点。根据薄板自在振动的偏微分方程,采取分别变量法推导了薄板自在振动的特点频率方程,建立了薄板各物理参数与自在振动频率之间的关系式。基于切比雪夫谱办法,构造出满足四边固支矩形薄板自在振动微分方程的高阶求导矩阵,取得了薄板自在振动的特点频率矩阵方程,该方程不含刚度矩阵和质量矩阵。经过过程算例和无限元办法比较,验证了切比雪夫谱办法的高效性与收敛性。比较两种办法的计算成果,算例中薄板的频率变更规律和各阶振型变更规律根本分歧。

A Chebyshev spectral method without both stiffness and mass matrices is proposed. Free vibrations of rectangular thin plates with clamped boundaries are researched by Chebyshev spectral method. Based on the partial differential equations of thin plates for free vibrations, the equations of eigen frequencies are educed by separating variables. Relationship between frequencies and physical parameters of materials is established. Referring to Chebyshev spectral method, high order derivative matrix is obtained which is a power operation of first order derivative matrix. The eigen frequency matrix equation of free vibration of thin plates is derived, but there is no stiffness matrix and no mass matrix. An example of clamped rectangular thin plate is solving by two methods. Compared with finite element method, efficiency and convergence of spectral method are verified. Comparing results by two methods, the frequencies and modes of the plate are basically consistent.

1. 引言

弹性矩形薄板是工程中罕见的构造情势,如国际空间站的太阳能电池帆板 [1] ,电子设备中的芯片,高速铁路中的轨道板 [2] 等,弹性矩形薄板的自在振动特点遭到了各国粹者的广泛存眷,并且提出了相干的模型和计算办法。Ritz [3] 基于变分道理,假定薄板的形函数为三角函数与双曲函数的乘积,分析了自在界线条件下方形薄板的横向自在振动,取得了自在界线条件下方形薄板横向自在振动的特点值及节线图。Mindlin [4] 推敲了迁移转变惯量和剪切变形,导出了各向异性弹性板的应力应变关系、活动微分方程和能量函数。Gorman [5] 提出了求解四边固支矩形薄板自在振动解析解的叠加办法,该办法将振型函数表示为两个函数的乘积,并将振型函数分为双对称、双否决称、对称否决称三种情势,计算过程比较复杂。钟阳 [6] 从四边固支矩形薄板自在振动的根本方程出发,在哈密顿体系中应用辛几何办法取得了四边固支矩形薄板自在振动的精确解。Liew [7] 提出了pb-2瑞利里兹办法,该办法以界线函数和正交多项式构造出里兹试函数。Zhou和Cheung [8] 在pb-2瑞利里兹办法的基本上提出了切比雪夫里兹办法,分析了矩形板的三维振动,该办法以一组界线函数与切比雪夫多项式的乘积作为里兹试函数。陈林 [9] 等基于改进的傅里叶级数法研究了随便任性界线条件下矩形薄板的振动特点。薄板自在振动的控制方程为四阶椭圆型偏微分方程,上述办法普通都须要假定满足位移界线的位移试函数,根据变分道理取得薄板的特点频率方程。

近年来,一些新的实际和办法也取得了生长。Silling [10] 提出了一套非部分持续力学体系——近场动力学实际。同时,有关谱办法的研究也逐步增多 [11] - [17] 。Orszag等根据不合的权函数对谱办法停止了分类,体系地总结了谱办法数值稳定性、收敛性的分析实际。Canuto等在先人研究基本上说清楚明了谱办法在流体力学应用中的关键内容,包含谱切远亲近的正交多项式、二维映照办法等。Shen等应用谱办法研究了高阶微分方程的边值成绩。Shen等将谱办法与无限元办法结合,采取谱元办法对薄壁梁前4阶自在振动的频率和振型停止了分析。Trefethen提出了一种切比雪夫谱办法,该办法采取切比雪夫插值点构造了随便任性区间上随便任性持续函数的一阶求导矩阵。

从今朝国表里的研究近况来看,采取切比雪夫谱办法研究板壳振动的文献不多。本文在Trefethen的研究基本上,应用一阶求导矩阵构造出满足四边固支矩形薄板自在振动微分方程的高阶求导矩阵,取得了四边固支矩形薄板自在振动的特点频率矩阵方程。与传统的Ritz法、Galerkin法等不合的是,由切比雪夫谱办法取得的特点频率矩阵方程不含有刚度矩阵和质量矩阵。经过过程算例和无限元办法比较,验证了切比雪夫谱办法的精确性。

2. 位移方程和界线条件

分析如图1所示弹性矩形薄板的横向自在振动成绩,普通采取基尔霍夫假定,忽视剪切变形和迁移转变惯量对薄板曲折变形的影响,薄板横向自在振动的位移方程可以写成式(1) [18] :

Figure 1. Rectangular plate

图1. 矩形薄板

(1)

(1)式中:为薄板的抗弯刚度,E为薄板材料的弹性模量,为薄板材料的泊松比,为薄板材料的密度,h为薄板的厚度。双调和算子的运算满足式(2):

(2)

假定薄板在时域做简谐活动,将时间变量与空间变量分别,则横向自在振动位移w可以写成式(3):

(3)

将(3)式带入(1)式,取得特点频率方程式(4):

(4)

(4)式中:为波数,为薄板的自在振动频率。关于四边固支界线,薄板在界线上不产生横向位移,也不产生由位移变更惹起的转角。是以,四边固支薄板的界线关系满足式(5)。根据文献 [14] 的研究,薄板的固支界线条件为微分方程的第一类界线条件和第二类界线条件的组合。

(5)

3. 切比雪夫谱办法

切比雪夫多项式是以俄罗斯数学家Pafnuty Lvovich Chebyshev定名的一系列多项式序列。切比雪夫多项式是一类完全的正交多项式,在数值计算中切比雪夫多项式的收敛性和数值稳定性优于普通的多项式,如泰勒级数 [19] 。第一类切比雪夫多项式的表达式如式(6)所示:

(6)

(6)式中:n为非负整数。第一类切比雪夫多项式存在交错点组,使得,在数值分析中被称为切比雪夫插值点,是在区间[−1,1]拔取的N + 1个不合的点,切比雪夫插值点的定义如式(7)所示:

(7)

Figure 2. Distribution of Chebyshev points (N = 8)

图2. N = 8时切比雪夫插值点的分布

当N = 8时,切比雪夫插值点的分布如图2所示。关于随便任性区间,切比雪夫插值点满足式(8)的映照关系;同理,关于随便任性矩形区域,切比雪夫插值点满足式(9)的映照关系:

(8)

(9)

根据文献 [18] 所提出的切比雪夫谱办法,区间[−1,1]上的1阶切比雪夫谱求导矩阵满足式(10):

(10)

(10)式中:i、j分别代表1阶切比雪夫谱求导矩阵中第i + 1行、第j + 1列,满足式(11):

(11)

采取切比雪夫谱办法求解高阶微分方程时,高阶切比雪夫谱求导矩阵可以表达为1阶切比雪夫谱求导矩阵的高次幂,如式(12)所示:

(12)

将对应的各阶切比雪夫谱求导矩阵带入特点频率方程(4),可以取得以下的特点频率矩阵方程:

(13)

(13)式中:代表克罗内克积 [20] 。

4. 数值算例与成果分析

4.1. 算例

算例为一四边固支方形薄板,如图3所示。边长为L = 2 m,弹性模量E = 2.10 × 109 Pa,薄板厚度h = 0.01 m,泊松比ν = 0.3,薄板的密度ρ = 7800 kg/m3

Figure 3. Finite element model

图3. 无限元模型

4.2. 频率分析

无限元模型是在ANSYS 15.0中建立的,采取shell181单位,方形网格边长为0.01 m,网格数量40,000,节点数量40,401。在切比雪夫谱办法中,切比雪夫插值点数取25,求解算法在MATLAB R2017b中完成,矩阵范围25 × 25。四边固支方形薄板横向自在振动频率的计算成果如表1图4所示。

分别采取切比雪夫谱办法和无限元办法计算了算例的前25阶频率。由表1可知,随着频率的增大年夜,切比雪夫谱办法与无限元办法计算成果之间的误差愈来愈大年夜,最大年夜值涌如今25阶频率,然则最大年夜误差只要0.31%。同时在前25阶频率中,出现了6对反复的频率值,分别为2阶和3阶、7阶和8阶、9阶和10阶、14阶和15阶、18阶和19阶、23阶和24阶。与无限元办法所需的网格数量比拟,切比雪夫谱办法拔取的切比雪夫插值点个数很少,矩阵范围远远小于无限元办法,计算机内存占用更少,计算效力更高。

在上述研究的基本上,根据1~25阶频率的特点,拔取了两组频率,分别取得了两组频率值随切比雪夫插值点数变更的规律。如图4所示,第一组为9阶和10阶,频率值雷同;第二组为24和25阶,频率

Table 1. Frequencies and errors calculated by spectral method and FEM

表1. 谱办法和无限元办法计算的频率及误差

值不合。由图4可知,当插值点数大年夜于12时,9阶和10阶频率值快速收敛,根本不再变更;当插值点数大年夜于14时,24阶和25阶频率值快速收敛,根本不再变更。计算成果注解,采取切比雪夫谱办法研究算例的前25阶频率时,采取15~25个切比雪夫插值点可以包管计算成果的收敛性。

4.3. 振型分析

在频率分析的基本上,采取切比雪夫谱办法和无限元办法,研究了算例前25阶频率对应的振型。如图5(1)~图5(25)所示,各子图左边为切比雪夫谱办法的计算成果,右边为无限元办法的计算成果。算例1~25阶振型表示出以下规律:1) 切比雪夫谱办法和无限元办法计算的1~25阶振型成果根本规律分歧,但不完全雷同。两种办法计算的1~7、11~13、16、17、20~22、25阶振型基本相同,8~10、14、15、18、19、23、24振型存在必定差别。2) 差别振型来自反复频率值对应的振型。7阶和8阶、9阶和10阶、14阶和15阶、18阶和19阶、23阶和24阶振型都是反复频率值对应的振型,并且反复频率值对应的振型都是中间对称图形(包含2阶和3阶频率值对应的图形)。采取切比雪夫谱办法和无限元办法计算振型,最明显的差别存在于8阶振型。8阶和7阶振型对应的频率值雷同,两种办法计算7阶振型的成果分歧,然则两种办法计算取得的8阶振型却不合。这类景象也存在于18阶和19阶振型的计算成果中。实际上,7阶和8阶、18和19阶两对反复频率值对应的振型若采取无限元办法计算,成果是分歧的,只是振型图绕中间点改变了90度。然则7阶和8阶、18和19阶两对反复频率值对应的振型若采取切比雪夫谱办法计算,成果是不分歧的。综上所述,在计算四边固支矩形薄板振型时,采取切比雪夫谱办法和无限元办法出现了一些不合的成果,有待进一步研究。

Figure 4. The relationship between frequencies and the number of interpolation points

图4. 频率与插值点数的关系

(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
(13) (14)
(15) (16)
(17) (18)
(19) (20)
(21) (22)
(23) (24)
(25)

Figure 5. Graph of modes

图5. 振型图

5. 结论

本文基于切比雪夫谱办法分析了四边固支矩形薄板的自在振动特点。基于薄板自在振动的位移方程,采取分别变量法推导了薄板自在振动的特点频率方程,建立了薄板各物理参数与自在振动频率之间的关系式。建立了随便任性区间、随便任性矩形区域与[−1, 1]区间内切比雪夫插值点的映照关系,构造出满足四边固支矩形薄板自在振动微分方程的高阶求导矩阵,取得了薄板自在振动的特点频率矩阵方程,该方程不含刚度矩阵和质量矩阵。算例薄板前25阶自在振动频率的计算成果注解,切比雪夫谱办法拔取25个插值点的计算成果与无限元的计算成果比拟,二者最大年夜误差唯一0.31%,切比雪夫谱办法在计算9阶和10阶、24阶和25阶频率时,拔取15~25个插值点,计算成果趋于稳定,收敛速度很快。是以本文提出的切比雪夫谱办法具有拔取插值点少、收敛速度快、计算精度高的特点。在分析算例薄板的振型时,发明无限元办法与切比雪夫谱办法的计算成果存在某些差别,有待进一步研究。另外,基于切比雪夫谱办法的中厚板、各向异性材料板、不规矩外形板和其他界线条件下板的自在振动特点分析,有待深刻研究。

基金项目

国度天然迷信基金(11472057),北京信息科技大年夜学“勤信拔尖人才网job.vhao.net”培养筹划项目(QXTCPB201701),北京市天然迷信基金(1182010)。

文章援用:
赵中凯, 张君华, 刘彦琦. 基于谱办法的矩形薄板自在振动分析[J]. 力学研究, 2019, 8(1): 54-64. https://doi.org/10.12677/IJM.2019.81007

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