IJM  >> Vol. 8 No. 3 (September 2019)

    多悬臂梁–流体的模态耦合与拍振研究
    Research on Modal Coupling and Slap Phenomenon of Multi-Cantilever Beam-Fluid Structure

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作者:  

陆 艺,李南生,李遇春:同济大年夜学土木工程学院水利工程系,上海

关键词:
多悬臂梁液体模态耦合拍振Multi-Cantilever Beam Fluid Modal Coupling Beat Vibration

摘要:

本文采取ANSYS软件对多悬臂梁–液体耦合体系停止了模态分析,取得了构造体系湿频率随液体宽度的变更规律,其成果与实际解答分歧;研究了多悬臂梁–液体体系的拍振景象,在多梁–液体体系中,不只存在梁与液体的相互感化,同时也存在梁与梁的相互感化,梁间相互感化随着梁间液体宽度的增长而减弱;体系拍振景象是由梁间相互感化产生的模态频率差招致,由于不合振型对不合梁位移函数供献不合,不合梁的拍景象频率及振幅普通不合。

In this paper, the modal analysis of multi-cantilever beam and fluid system is carried out by ANSYS code. The variations of wet frequencies of coupling system with the fluid width are obtained. The results agree well with the theoretical solutions. The beat vibration of multi-cantilever and fluid system is studied. In multi-cantilever beam and fluid system, not only there is interaction between beam and fluid, but also the interaction between the beams. The interaction effect between beams decreases with the increase of fluid width between beams. The difference of modal frequency caused by the interaction between beams results in beat vibration of multi-cantilever and fluid system. Because the different contributions of mode shapes are given to the displacement functions of different beams, the frequency and amplitude of beat vibration are generally different for the different beams.

1. 引言

郑哲敏 [1] 最早研究了单个弹性悬臂梁与一侧液体的相互感化成绩;周叮 [2] 研究了单个弹性悬臂梁与两液体的相互感化成绩;李遇春等 [3] 研究了双悬臂梁-流体耦联构造的自在振动成绩,给出了双悬臂梁–液体耦联构造湿模态频率及振型函数的实际解答,研究了梁与液体、梁与梁之间湿模态的相互感化对梁模态的影响。

多悬臂梁与液体耦接洽统中,梁与液领会产生相互感化,当梁间的间距较小时,梁与梁也会产生相互感化,液体充当了梁与梁相互感化的(弱)耦合体,是以梁与梁之间的耦联振动必定存在拍振景象,而文献 [3] 并未对照应的拍振停止研究。拍振广泛存在于物理、音乐和工程构造中。拍振 [4] 是由多个谐振动的叠加产生,且谐振动频率存在差值。李京颍 [5] 采取数值分析办法研究了振动的拍景象。

本文基于ANSYS无限元分析软件,模仿多悬臂梁–流体耦接洽统的自在振动,并与实际成果停止比较,研究多悬臂梁–流体耦合构造中模态耦合和由此产生的拍振景象,为类似液固耦合振动研究供给参考。

2. 多悬臂梁–流体的模态耦合

2.1. 双悬悬臂梁–流体的模态耦合

根据文献 [3] ,双悬臂梁–流体构造可简化为如图1所示的体系,为简化计算,取两悬臂梁尺寸雷同,仅改变右悬臂梁弹性模量。悬臂梁尺寸为: I = 0.04266 m 4 h = 8 . 5 m ,梁1的弹性模量为 E 1 = 3.0 × 10 10 Pa ,梁2的弹性模量为E2,梁材料密度与液体密度分别为 ρ s = 2500 kg / m 3 ρ L = 1000 kg / m 3 。以2a/h为横坐标, ω i ( j ) / ω 1 , i ω 2 , i 为纵坐标,个中 ω i ( j ) 表示第i阶的第j模态频率值, ω 1 , i ω 2 , i 表示1、2号梁在一侧无穷水体时的第i阶模态频率值,其值可根据文献 [1] 计算取得,成果列于表1。关于图1的体系当 γ = E 2 / E 1 取不合值时,本文采取ANSYS软件计算取得图2图3,关于ANSYS的模仿办法简介可参看文献 [6] [7] 。

Table 1. The first two frequencies of cantilever beam with one side infinite water

表1. 不合弹性模量悬臂梁一侧无穷水体时前两阶自振频率

Figure 1. Double cantilever beam-fluid system

图1. 双悬臂梁–流系一切

Figure 2. Frequency variation curve of two modes of the first order

图2. 一阶两模态频率变更曲线

Figure 3. Frequency variation curve of two modes of the second order

图3. 二阶两模态频率变更曲线

ANSYS模仿取得的曲线与文献 [3] 中实际解法取得的成果分歧,成果注解:两个梁构成的一个体系,其体系某一阶天然频率有两个,当梁间距较小时,由于液体的耦合感化,体系的两个频率产生了很大年夜变更,解释两个梁经过过程液体耦合产生了相互感化;随着梁间距增大年夜,2a/h大年夜于3时,体系的两个频率趋于直线,与单个梁与无穷水体感化的天然频率雷同,解释梁间的耦合感化趋于零。

计算成果注解ANSYS无限元计算软件可很好地模仿多悬臂梁–流体耦接洽统的振动模态。

2.2. 三悬臂梁–流体构造模态影响

推敲如图4所示的三梁–流系一切,普通情况下,两区域液体的宽度和深度都邑影响耦接洽统的频率和振型函数。为简化计算分析,令两区域液体宽度雷同,即 a = b = L = 8 . 5 m ,液体深度与悬臂梁长度相等,即 h 1 = h 2 = h 。取三悬臂梁性质雷同,为: I = 0.04266 m 4 h = 8 . 5 m 、弹性模量 E = 3 × 10 10 Pa 。应用ANSYS软件计算该体系的一阶模态所对应的三个振型见图5所示,其对应的模态频率分别为 ω 1 ( 1 ) ω 1 ( 2 ) ω 1 ( 3 ) 。改变水体长度,其它参数不变,以水体长度 a = b = L 为横坐标,同一阶三个湿模态频率为纵坐标,取得图6

Figure 4. Triple cantilever beam-fluid system

图4. 三悬臂梁–流系一切

Figure 5. The three vibration shapes of the first mode shape for the system of triple cantilever beam and fluid

图5. 三悬臂梁–流系一切的一阶模态对应的三个振型图

Figure 6. Variations of the three wet frequencies with liquid width L

图6. 三个湿频率随水宽L的变更曲线

图5可知:耦接洽统的第一阶模态中的悬臂梁均表示为一阶振型,个中的第一个振型(图5(a)所示)重要表示为中悬臂梁的振动,两边吊颈的振幅很小,与中吊颈的相位相反;第二个振型(图5(b)所示)二个边梁反相位同振幅振动,由于对称性,中梁保持为运动状况;第三个振型(图5(c)所示)显示了三个梁的同相位振动,由于边梁一边有水体的耦合感化,而中梁两边均有水体的耦合感化,所以边梁的振幅相对较大年夜。

图6可知:随着液体长度L增大年夜,二个边梁同等于一侧受无穷水体感化的悬臂梁,频率 ω 1 ( 2 ) ω 1 ( 3 ) 趋于相等,中梁同等于两侧受无穷水体感化的悬臂梁,其频率 ω 1 ( 1 ) 与文献 [2] 评论辩论的频率分歧。

3. 耦合自在振动的拍景象

多悬臂梁–流体构造是一个闭合的耦合构造,体系中的悬臂梁振动时经过过程对液体施加感化惹起能量的迁徙。当不推敲悬臂梁及液体阻尼时,构造总能量不变。在普通的情况下,体系中梁的振动是各阶模态的叠加,各梁对液体的感化不雷同,梁与梁之间有能量的迁徙,招致各梁的位移存在拍振景象。以下以一阶自在振动为例,研究多悬臂梁–流体构造中的拍振景象。

3.1. 双梁–液系一切拍振景象

根据文献 [1] 对双悬臂梁–流体耦联构造自在振动的实际求解成果,普通情况下左、右梁位移时程函数可表示为各阶模态的叠加:

{ u a ( z , t ) = i = 1 q i Y a i ( z ) cos ( ω i t + φ i ) u b ( z , t ) = i = 1 q i Y b i ( z ) cos ( ω i t + φ i ) (1)

个中 q i φ i 为常数,由初始条件决定; Y a i ( z ) Y b i ( z ) 分别为为左、右梁的第i阶振型函数, ω i 为耦接洽统第i阶频率。代入初始条件,应用振型正交性,可求解 q i φ i ,从而取得两个梁的位移时程函数。

为简化计算,将初始条件设为左梁产生一阶振型函数 Y ( z ) 的初始位移,那么构造将以一阶振动为主。在必定的计算精度内,两梁的位移函数可略去高阶模态项,简化为:

{ u a ( z , t ) = q 1 Y a 1 ( z ) cos ( ω 1 ( 1 ) t + φ 1 ) + q 2 Y a 2 ( z ) cos ( ω 1 ( 2 ) t + φ 2 ) u b ( z , t ) = q 1 Y b 1 ( z ) cos ( ω 1 ( 1 ) t + φ 1 ) + q 2 Y b 2 ( z ) cos ( ω 1 ( 2 ) t + φ 2 ) (2)

初始条件为:

u a ( z , 0 ) = Y ( z ) ; d u a d t | t = 0 = u b | t = 0 = d u b d t | t = 0 = 0 (3)

设左、右悬臂梁性质雷同,此情况在实际工程中很罕见,那么振型函数有: Y a 1 ( z ) = Y b 1 ( z ) Y a 2 ( z ) = Y b 2 ( z ) ,代入解得:

{ u a = Y ( z ) cos ( ω 1 ( 2 ) ω 1 ( 1 ) 2 t ) cos ( ω 1 ( 2 ) + ω 1 ( 1 ) 2 t ) u b = Y ( z ) sin ( ω 1 ( 2 ) ω 1 ( 1 ) 2 t ) sin ( ω 1 ( 2 ) + ω 1 ( 1 ) 2 t ) (4)

根据已有的拍振实际,以上两余弦函数频率之差影响拍景象的周期;两余弦函数振幅之比影响拍景象的明显程度,即拍振的最大年夜值与最小值 [4] 。

推敲三种情况: 2 a = 6 m 2 a = 8 . 5 m 2 a = 17 m ,两悬臂梁性质为: I = 0.04266 m 4 h = 8 . 5 m E = 3.0 × 10 10 Pa ,左梁产生一阶振型初位移时(端部初位移0.4 mm),计算两梁自在端位移时程,并与ANSYS软件数值模仿成果停止比较,成果如图7所示。由于 ω 1 ( 1 ) ω 1 ( 2 ) 相差较小,可算作角频率 ( ω 1 ( 2 ) + ω 1 ( 1 ) ) / 2 的振动,以 ( ω 1 ( 2 ) ω 1 ( 1 ) ) / 2 为调制振动振幅的频率。

图7可以看出,两个悬臂梁的振动幅值起此彼伏,能量在两个梁之间转移。由于振动实际与ANSYS计算 ω 1 ( 1 ) ω 1 ( 2 ) 时存在误差,而随着两梁间隔的增大年夜, ω 1 ( 1 ) ω 1 ( 2 ) 差值将减小,是以 ( ω 1 ( 2 ) ω 1 ( 1 ) ) / 2 的误差将时会缩小年夜,实际计算与ANSYS成果拍振周期误差将缩小年夜,如图7(c)所示。

3.2. 三梁–液系一切拍振景象

异样三悬臂梁–流体构造也会产生类似拍振景象,只是各梁位移函数模态叠加项较多,方程求解较复杂。根本求解思路与双悬臂梁–流体构造雷同。

取三悬臂梁性质雷同,计算参数为: I = 0.04266 m 4 h = 8 . 5 m E = 3.0 × 10 10 Pa ,液体长度 a = b = 8 . 5 m 。经ANSYS软件计算,耦联构造第一阶的三个模态频率分别为: ω 1 ( 1 ) = 3.44 Hz ω 1 ( 2 ) = 4.30 Hz ω 1 ( 3 ) = 4.39 Hz 。以左梁产生一阶振型初位移(端部初位移0.76 mm)为初始条件,三梁-液体体系拍振景象ANSYS数值模仿成果如图8所示。

图8所示,在本文的计算条件下,左梁与右梁振幅起此彼伏,它们经过过程当中梁及液体的耦合产生了明显的能量转移。

4. 结论

本文应用ANSYS无限元软件研究了多悬臂梁–液体耦合体系的模态相互感化及拍振景象,结论以下:

1) 由于流固耦合感化的存在,悬臂梁之间存在相互感化,这类相互感化影响了耦联构造的湿模态,且这类影响随着梁间液体宽度的增长而减弱。

Figure 7. Beat vibration of double beam-fluid system

图7. 双梁–液体体系的拍振

Figure 8. Beat vibration of triple beam-fluid system

图8. 三梁–液体体系的拍振

2) 多悬臂梁–流体耦接洽统拍振景象是由梁间相互感化产生的模态频率差招致,由于不合模态对不合梁位移函数供献不合,不合梁的拍景象频率及振幅普通不合。

基金项目

国度天然迷信基金面上项目(51879191)赞助。

NOTES

*通信作者。

文章援用:
陆艺, 李南生, 李遇春. 多悬臂梁–流体的模态耦合与拍振研究[J]. 力学研究, 2019, 8(3): 179-186. https://doi.org/10.12677/IJM.2019.83020

参考文献

[1] 郑哲敏, 马宗魁. 悬臂梁在一侧受有液体感化时的自在振动[J]. 力学学报, 1959, 3(2): 111-119.
[2] 周叮. 两侧受液时悬臂梁的自在振动分析[J]. 工程力学, 1981, 8(3): 107-115.
[3] 李遇春, 朱暾, 白冰. 悬臂梁–流体–悬臂梁耦接洽统的湿模态相互感化[J]. 工程力学, 1998, 15(1): 58-65.
[4] Meirovitch, L. (1975) Elements of Vibra-tion Analysis. Second Edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 125-129.
[5] 李京颍. 拍景象的数值模仿分析[J]. 阜阳师范学院学报(天然迷信版), 2005, 22(3): 17-19.
[6] 李遇春. 液体闲逛动力学基本[M]. 北京: 迷信出版社, 2017: 121-126.
[7] 王新敏. ANSYS工程构造数值分析[M]. 北京: 人平易近交通出版社, 2007: 273-278.