IJM  >> Vol. 8 No. 3 (September 2019)

    推敲限速的最优速度模型的稳定性与孤波
    The Stability and Soliton of the Optimal Velocity Model Considering Speed Limit

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作者:  

和光珠,化存才:云南师范大年夜学数学学院,云南 昆明

关键词:
最优速度模型限速稳定性密度波The Optimal Velocity Model Speed Limit Stability Density Wave

摘要:

本文基于最优速度模型,设计了推敲驾驶员提早时间获知限速信息的交通流模型。应用线性稳定性分析办法,取得了模型的稳定性条件。注解限速信息的影响使得交通流的稳定区域有明显扩大年夜。应用约化摄动法对模型停止分析,分别在稳定区域、亚稳态区域和不稳定区域导出密度波方程——Burgers方程、KdV方程和mKdV方程。经过过程Burgers方程、KdV方程的孤波解和mKdV方程的扭结–反扭结波解描述了提早获知限速信息下的交通流梗塞景象。

Based on the optimal velocity model, this paper designs a traffic flow model which takes into ac-count the driver’s advance time to know the speed limit information. By using the linear stability analysis method, the stability condition of the model is obtained. It shows that the influence of the speed limit makes the stable region of traffic flow expand obviously. The density wave equations such as Burgers equation, KdV equation and mKdV equation are derived respectively from the reduced perturbation method in the stable region, metastable region and unstable region. The phenomena of traffic congestion under the speed limit are described by the solitary wave solution of Burgers and KdV equation, and by the kink-antikink solution of mKdV equation.

1. 引言

很多年来,随着社会经济的快速生长,城市化扶植的过程加快,人们生活质量程度的明显晋升,城市交通需求高速增长,门路车辆骤增,产生了交通拥堵、交通变乱、交通污染和动力消费等四大年夜城市交通成绩。个中,交通拥堵成绩是基本,一向备受存眷。交通拥堵是交通流复杂性的一个重要特点,被认为是由于车辆之间相互感化而惹起的密度波传播的极限情况 [1] 。为研究交通流的复杂性成绩,学者们相继提出了很多跟驰模型 [2] - [7] 来数学地描述和解释交通流中的复杂景象。

交通流模型按集合程度可分为宏不雅模型、中不雅模型和微不雅模型。具有最优速度函数的车辆跟驰模型是微不雅交通流模型的重要代表,并经过过程仿真分析技巧取得了广泛的研究。最早的跟驰模型是由Pipes [8] 于1953年提出。1995年,Bando [9] 等基于驾驶员根据车头时距调剂车速的思维,初次提出了最优速度模型(OVM),该模型处理了无穷加快成绩。1998年,Helbing [10] 等应用经历数据对OVM停止验证,提出了一种狭义力模型(GFM),它克服了OVM存在加速不实际、加快度过大年夜的成绩。2001年,Jiang [11] 等发明GFM在高密度下表示出较差的汽车活动延迟时间和活动波速,并提出了推敲正负速度差对跟驰模型的影响的全速度差模型(FVDM)。

当今,智能交通体系(Intelligent Transport System,简称ITS),是门路交通和运输科技生长的前沿。它的快速生长和应用正派由过程供给智能交通信息改变着我们的交通控制和管理方法,成为人们应对严重交通拥堵的处理筹划。在此背景下,跟驰模型也取得了新的扩大。例如,文献 [12] [13] [14] 在推敲各类交通身分和信息的基本上,提出了很多新的OVM和FVDM跟驰模型。这些模型重要推敲协同控制驾驶的范畴,即:车辆在运转过程当中,根据以后或汗青时辰的其他车辆的地位信息或活动状况来调剂本身的行驶状况,而每辆车的活动方程都由被推敲车辆本身和其他车辆的交通信息构成,从而经过过程协同驾驶控制达到克制交通拥堵、进步交通流稳定性的目标。但是,由于存在浩大身分,协同控制驾驶在实际中实施还存在必定的艰苦。起首,须要获得其他车辆的精确靠得住的交通信息;其次,在车与车之间要互联通信,协同控制的实施后果在很大年夜程度上取决于通信搜集的质量,在及时传输数据时,无线局域网也会存在传输的延迟,已有相干文献证明这对交通流的稳定性会产生负面影响 [15] [16] [17] [18] 。最后,在车道上,任何车辆可以在任甚么时候辰从门路的任何地位驶入或是分开,这能够会使得车辆之间会忽然产生变更,这些传输的缺点信息能够招致驾驶员做掉足误的操作。

针对上述成绩,有学者推敲不须要与其他车辆协同驾驶,仅经过过程每辆车的自稳定控制来稳定交通流,2015年,Li [19] 等初次在OVM中参加以后与汗青速度的速度差,推敲汗青速度对稳定性的影响,提出了一种交通静态的微分差分方程,经过过程实际分析和数值模仿验证了自稳定效应。2017年,Chen [20] 等推敲到驾驶员对本身车速变更的持续记忆效应,改进了自稳定控制驾驶行动的跟驰模型,成果注解驾驶员的持续记忆效应能进步车流的稳定性,有效克制交通流的梗塞。2018年,Sun [21] 等将车头时距自稳定控制因子参加到OVM中,给出了一种扩大的自稳定最优速度模型,该模型成果注解自稳定驾驶行动对交通流的稳定性和流量起着积极有效的感化。可见,根据车辆本身的速度或地位信息来调剂以后时辰的活动状况,以达到稳定交通流的相干研究取得了进一步生长。但是,到今朝为止,关于自稳定控制方面存在的研究任务还很少。不必置疑,车辆的协同控制会对驾驶行动产生影响,而限速信息也会对驾驶行动产生必定的影响。内行驶过程当中,驾驶员必须留意前后车辆,也要提早预知前方的交通状况,以防止任何潜伏的抵触。内行驶车道上,交通流会遭到速度的影响,而驾驶员也会随不合交通状况控制速度。假设能提早获知限速信息,驾驶员可以提早做好照应速度的调剂,以包管车辆的安然驾驶,从而更好地防止交通拥堵的产生。

本文将从经典的最优速度模型(OVM)出发,重要推敲驾驶员提早 t 0 时间获知限速信息带来的影响,例如:智能车载导航体系提早提示前方路况和限速信息;在高速公路上,路边的限速标示牌提示等,都属于提早时间提示限速信息。经过过程引入限速信息来更好地描述真实的交通情况,使得改进的OVM模型加倍符合实际交通流,进而可以有效地解释一些复杂的交通景象。为此,本文给出了新的扩大的最优速度模型,经过过程线性稳定性分析办法导出模型的稳定性条件,经过过程约化摄动办法导出三个不合区域内的密度波方程,从而分析限速对驾驶行动的影响,为破解城市交通拥堵成绩供给实际根据。

2. 模型的提出

跟驰模型是在微不雅交通模型的基本上对车辆的活动方程等微不雅交通动力学成绩停止描述。

1995年,Bando等 [9] 提出的最优速度模型很好地描述了交通流的一些非线性景象,其活动方程以下:

x ¨ n ( t ) = a [ V ( Δ x n ( t ) ) v n ( t ) ] (1)

个中,a表示驾驶员的敏感系数, x n ( t ) (单位:m), v n ( t ) (单位:m/s)分别表示第n辆车在t (单位:s)时辰的地位和速度, Δ x n ( t ) = x n + 1 ( t ) x n ( t ) 表示第 n + 1 辆车(即前向车辆)与第n辆车(即跟驰车辆)之间的车头间距,模型的根本思维是:第n辆车在t时辰的加快度 x ¨ n ( t ) (单位:m/s2)由实际速度 v n ( t ) 与最优速度 V ( Δ x n ( t ) ) (单位:m/s)之差决定,它依附于前一辆车的车头时距,取以下情势的双曲正切函数:

V ( Δ x n ( t ) ) = v max 2 [ tanh ( Δ x n ( t ) h c ) + tanh ( h c ) ] (2)

个中,取 h c = 5 (单位:m)为安然间隔, v max = 2 (单位:m/s)为最大年夜速度。可知最优速度函数是一个

单调递增函数,由于 V ( Δ x n ( t ) ) = v max 2 ( 1 tanh 2 ( Δ x n h c ) ) V ( Δ x n ( t ) ) 的一阶导数,并且不管 Δ x n ( t )

值若何,都长短负的。由 lim Δ x n V ( Δ x n ( t ) ) = v max 2 ( 1 + tanh ( h c ) ) 可知系式(2)具有下限。

2015年,Lie等 [19] 经过过程调剂车辆本身的速度差(以后速度与汗青速度)达到稳定交通流的目标,提出了以下自稳定控制驾驶的跟驰模型:

x ¨ n ( t ) = a [ V ( Δ x n ( t ) ) v n ( t ) ] + ρ [ v n ( t ) v n ( t t 1 ) ] (3)

个中, t 1 是以后时间t与汗青时间 t t 1 之差, ρ 表示推敲以后速度与汗青速度之差的敏感系数, v n ( t ) v n ( t t 1 ) 表示车辆n以后速度 v n ( t ) 与汗青速度 v n ( t t 1 ) 的速度差。

2017年,Chen等 [20] 推敲驾驶员对本身车速变更的持续记忆效应,将模型(2)拓展为具有持续记忆效应的以下交通流跟驰模型:

x ¨ n ( t ) = a [ V ( Δ x n ( t ) ) v n ( t ) ] + γ [ v n ( t ) 1 t 1 t t 1 t v n ( t ) d t ] (4)

个中, γ 表示推敲持续记忆效应的敏感系数。采取积分情势,该模型可描述驾驶员在 [ t t 1 , t ] 时间内

的持续记忆效应,并能真实地描述车辆持续活动的过程。由积分中值定理可知, 1 t 1 t t 1 t v n ( t ) d t = v n ( t μ )

个中 t μ [ t t 1 , t ] μ [ 0 , t 1 ] μ 为记忆参数, μ 越大年夜,驾驶员的记忆时间越长,则记忆效应越强。

2018年,Sun等 [21] 将车头时距自稳控制因子参加OVM中,提出以下扩大的自稳定最优速度模型:

x ¨ n ( t ) = a [ V ( Δ x n + κ ( h Δ x n ) ) v n ] (5)

个中,h表示稳态稳定车头时距, κ ( h Δ x n ) 表示自稳定控制后果, κ 是车头时距自稳定控制行动照应系数。

从交通管理的角度来看,最重要的成绩是克制交通梗塞。为进步城市交通稳定性,保证交通安然通畅,限制车速是一项重要的办法。关于限速信息,一方面,可以经过过程车辆GPS导航体系来获知;另外一方面,又可以经过过程门路的限速标示来获知。为此,本文在经典最优速度模型的基本上,推敲驾驶员提早 t 0 时间获知限速信息,给出以下交通流模型:

x ¨ n ( t ) = a [ V ( Δ x n ( t ) ) v n ( t ) ] + λ [ v n ( t + t 0 ) v n ( t ) ] (6)

个中,a表示驾驶员的敏感系数, B n = v n ( t + t 0 ) v n ( t ) 表示驾驶员提早 t 0 时间预知本车速度与以后速度之差,我们希冀速度差项 B n 可以经过过程克制交通梗塞来影响交通流稳定性, λ 表示有提早获知限速信息下的敏感系数。由(6)式可知, B n 项与其他车辆的交通信息有关,它完全依附于被推敲车辆的交通数据,而这可以经过过程车辆上的GPS导航体系取得。假设驾驶员提早 t 0 时间预知本车速度与以后速度之间的速度差可以或许稳定交通体系,则意味着我们可以经过过程自稳定来控制每辆车,进而改良交通的稳定性。

为便利前面的计算,将模型(6)改写为以下情势:

x ¨ n ( t ) = a [ V ( Δ x n ( t ) ) x ˙ n ( t ) ] + λ [ x ˙ n ( t + t 0 ) x ˙ n ( t ) ] (7)

3. 模型(7)的稳定性分析

本节中,我们采取线性稳定性办法分析导出模型(7)的稳定性条件。

起首,假定初始状况为稳定态,车辆的车头间距均为h,对应的优化速度为 V ( h ) 。此时,稳态交通流的车辆地位可表示为:

x n 0 ( t ) = h n + V ( h ) t , h = L / N (8)

个中:N是车辆总数,L是门路长度(单位:m)。若在t时辰给稳态交通体系施加一个小扰动 y n ( t ) ,使得车流运转产生偏离,则 x n ( t ) 表示为:

x n ( t ) = x n 0 ( t ) + y n ( t ) (9)

x n ( t ) 为扰动影响下车辆的实际位移。

其次,将(8)和(9)式代入方程(7),整顿取得:

y ¨ n ( t ) = a [ V ( h + Δ y n ( t ) ) V ( h ) y ˙ n ( t ) ] + λ [ y ˙ n ( t + t 0 ) y ˙ n ( t ) ] (10)

个中, Δ y n ( t ) = y n + 1 ( t ) y n ( t ) ,将(9)式泰勒展开,有:

y ¨ n ( t ) = a [ V ( h ) Δ y n ( t ) y ˙ n ( t ) ] + λ [ y ˙ n ( t + t 0 ) y ˙ n ( t ) ] (11)

式中 V ( h ) 为最优速度函数 V ( x ) x = h 处的导数。再将 y n ( t ) = exp ( i n k + z t ) 代入(11),整顿取得关于扰动 y n ( t ) 的以下式子:

z 2 = a [ V ( h ) ( exp ( i k ) 1 ) z ] + λ z ( e t 0 z 1 ) (12)

最后,将参数z展开为 z = z 1 ( i k ) + z 2 ( i k ) 2 + 代入(12)。比较 i k 的雷同次幂,取得z表达式中一阶项和二阶项的系数以下:

z 1 = V ( h ) z 2 = V ( h ) 2 + ( λ t 0 1 ) V ( h ) 2 a (13)

假设 z 2 为负,则初始均匀的稳定流将变得不稳定;假设 z 2 为正,则将保持原本的稳定流状况不变。由此取得(7)在推敲驾驶员提早 t 0 时间获得限速信息的临界条件为:

a = 2 ( 1 λ t 0 ) V ( h ) (14)

因而,当 a > 2 ( 1 λ t 0 ) V ( h ) 时,交通流将处于稳定状况。即当驾驶员获得限速信息的提早时间 t 0 变小时,敏感系数 λ 将增大年夜,意味着驾驶员驾驶行动加强,交通流加倍稳定。相反,当 t 0 变小时,a也变大年夜,并且a的变更幅度大年夜于 λ 的变更幅度,这注解a是主敏感系数。当 t 0 = 0 时,稳定性条件变成OVM的稳定性条件,即: a > 2 V ( h )

图1给出了(14)在不合 λ t 0 组合下的临界稳定曲线。图1(a)为 t 0 = 1 时,不合 λ 下的中性稳定曲线。中性稳定曲线上方为稳定区域,表示无交通拥堵的自在相;中性曲线下方区域为不稳定区域,表示随着走走停停的密度波向后演变的交通梗塞相,每条曲线的峰值代表临界点。从图1(a)可看出,随着对限速产生的敏感参数 λ 的增大年夜,稳定区域也增大年夜,注解驾驶员提早 t 0 时间获得限速信息能有效加强车流的稳定性。图1(b)为模型(7)在固定 λ = 0.3 ,不应时间 t 0 下的中性稳定曲线。从图1(b)可看出,随着提早获得限速信息时间 t 0 的增大年夜,稳定区域也增大年夜,注解驾驶员越早获得限速信息,就可以越早调剂车速,使车流稳定,防止交通拥堵的产生。

(a) (b)

Figure 1. The neutral stability lines in the headway-sensitivity space for different parameter combinations. (a) t 0 = 1 , (b) λ = 0.3

图1. 不合参数组合下的车头时距与敏感系数之间的临界稳定曲线。(a) t 0 = 1 , (b) λ = 0.3

4. 模型(7)的约化摄动分析和孤立波

交通梗塞其本质就是交通流模型的孤立波景象。根据前面第3节的稳定性条件,交通流区域可以分为:稳定区域、不稳定区域和亚稳态区域。在三种不合的区域可以用约化摄动法导出各自的非线性波方程,从而给出照应的交通流密度波。

为前面的计算便利,我们将模型(7)改写为

d 2 ( Δ x n ( t ) ) d t 2 = a [ V ( Δ x n + 1 ( t ) ) V ( Δ x n ( t ) ) d ( Δ x n ( t ) ) d t ] + λ [ d ( Δ x n ( t + t 0 ) ) d t d ( Δ x n ( t ) ) d t ] (15)

4.1. 在稳定流区域导出Burgers方程

在稳定流区域,满足线性稳定性条件 a > 2 ( 1 λ t 0 ) V ( h )

关于空间变量n和时间变量t,我们定义慢变量X和T:

X = ε ( n + b t ) T = ε 2 t (16)

这里 0 < ε 1 且b是一个待肯定的常数。设车头时距为:

Δ x n ( t ) = h + ε R ( X , T ) (17)

将式(16)和(17)代入(15),泰勒展开至 ε 3 量级,取得以下非线性偏微分方程:

a ε 2 ( b V ( h ) ) X R + ε 3 [ ( b 2 a V ( h ) 2 λ t 0 b 2 ) X 2 R a V ( h ) R X R + a T R ] = 0 (18)

个中, V ( h ) = d V ( Δ x n ) d Δ x n | Δ x n = h V ( h ) = d 2 V ( Δ x n ) d Δ x n 2 | Δ x n = h

T R = R T X R = R X X k R = k R X k

b = V ( h ) ,消去 ε 的二次项后,将(18)简化为:

a T R a V ( h ) R X R + V ( h ) ( V ( h ) a 2 λ t 0 V ( h ) ) X 2 R = 0 (19)

是以,在稳定性条件下,在稳定区域可取得

1 2 V ( h ) [ a 2 ( 1 λ t 0 ) V ( h ) ] > 0 (20)

此时,(19)是一个Burgers方程,它有一个解为:

R ( X , T ) = 1 | V ( h c ) | T [ X 1 2 ( η n + η n + 1 ) ] 1 2 | V ( h c ) | T ( η n + 1 η n ) × tanh [ c 1 4 | V ( h c ) | T ( η n + 1 η n ) ( X ζ n ) ] (21)

个中, c 1 = 1 2 a V ( h ) [ a 2 ( 1 λ t 0 ) V ( h ) ] η n 表示沿着x轴的斜率, ζ n 表示激波波前的坐标。 b = V (h)

正好为三角激波的传播速度。三角激波相对活动车辆向后传播,随着均匀车间距的增长,传播速度减小。从 c 1 可看出,当 t 0 0 时, c 1 的极限值为经典的OVM,即没有推敲驾驶员提早 t 0 时间获知限速信息,成果为OVM的极限状况。

4.2. 在不稳定区域导出mKdV方程

在不稳定区域内,研究(15)在临界点 ( h c , a c ) ( a c 为临界敏感度, h c 为临界车头间距)邻近空间变量n和时间变量t的慢变行动,我们定义慢变量X和T:

X = ε ( n + b t ) T = ε 3 t (22)

设车头时距为:

Δ x n ( t ) = h c + ε R ( X , T ) (23)

将式(22)和(23)代入(15),泰勒展开至 ε 5 量级,取得以下非线性偏微分方程:

a ε 2 ( b V ) X R + ε 3 [ ( b 2 a V 2 λ t 0 b 2 ) X 2 R V X R 2 ] + ε 4 [ a T R a V 2 X R 3 ( a V 6 + 1 2 λ t 0 2 b 3 ) X 3 R ] + ε 5 [ 2 b t 0 λ X R T R a V 2 X 2 R 3 ( a V 24 + 1 6 λ t 0 3 b 4 ) X 4 R a V ( 4 ) 6 X R 4 ] = 0 (24)

b = V ( h c ) a = ( 1 ε 2 ) a c ,和 a c = 2 V ( 1 λ t 0 ) 。在临界点 ( h c , a c ) 邻近,忽视 ε 2 ε 3 量级,方程(24)可简化为:

T R k 1 X 3 R + k 2 X R 3 + ε ( k 3 X 2 R + k 4 X 4 R + k 5 X 2 R 3 ) = 0 (25)

个中, k 1 = V 6 + 1 2 a c λ t 0 2 V 3 k 2 = V 2 k 3 = V 2 a c

k 4 = ( V 3 a c λ t 0 1 24 ) V 1 6 a c 2 ( 1 + 6 λ ) λ t 0 3 V 4 k 5 = ( V a c λ t 0 1 2 ) V

对(25)作以下变换:

T = k 1 T R = k 1 k 2 R (26)

取得含有 O ( ε ) 校订项的mKdV方程:

T R X 3 R + X R 3 + ε M [ R ] = 0 (27)

个中,

M [ R ] = 1 k 1 ( k 3 X 2 R + k 4 X 4 R + k 1 k 5 k 2 X 2 R 3 ) (28)

忽视(27)中的校订项 O ( ε ) ,(27)就是mKdV方程,它的扭结—反扭结波解为:

R 0 ( X , T ) = c tanh ( c 2 ( X c T ) ) (29)

为了取得方程(27)的传播速度c, R 0 ( X , T ) 必须满足可解性条件:

( R 0 , M [ R 0 ] ) = + d X R 0 ( X , T ) M [ R 0 ( X , T ) ] = 0 (30)

个中c为解的传播速度。经过过程求解下面的积分方程可取得扭结—反扭结波的传播速度c为:

+ c k 1 k 2 ( k 2 k 3 X 2 R + k 2 k 4 X 4 R + k 1 k 5 X 2 R 3 ) tanh ( c 2 ( X c T ) ) d X = 0 (31)

用Zhang G [22] 等人的办法来求解方程(31),可取得c的表达式为

c = 5 k 2 k 3 2 k 2 k 4 3 k 1 k 5 (32)

是以,车头间距的扭结—反扭结波的解为:

Δ x n ( t ) = h c + c k 1 k 2 ( 1 a a c ) tanh c 2 ( 1 a a c ) [ n + ( 1 c k 1 ( 1 a a c ) ) t ] (33)

扭结–反扭结密度波的振幅A为:

A = c k 1 k 2 ( 1 a a c ) ,个中, a c = 2 V ( h c ) ( 1 λ t 0 ) (34)

扭结–反扭结解代表共存相,包含低密度的自在活动相和高密度的拥堵相,自在活动相和拥堵相的车头时距分别由 Δ x n ( t ) = h c + A Δ x n ( t ) = h c A 给出。从扭结波的振幅(34)中可看出,提早时间 t 0 越大年夜,振幅A越小,即推敲驾驶员获得限速信息的提早时间越早,交通梗塞景象越弱。

4.3. 在亚稳态区域导出KdV方程

如今分析方程(15)在中性稳定线 a = 2 ( 1 λ t 0 ) V ( h ) 邻近亚稳定区域内的交通流性态。关于空间变量n和时间变量t,我们依然定义慢变量X和T:

X = ε ( n + b t ) T = ε 3 t (35)

这里 0 < ε 1 且b是一个待肯定的常数。设车头时距为:

Δ x n ( t ) = h c + ε 2 R ( X , T ) (36)

将(35)和(36)代入(15),泰勒展开到 ε 6 量级,并令 b = V ( h c ) a = ( 1 ε 2 ) a s ,和 a s = 2 V ( 1 λ t 0 ) ,我们有

T R m 1 X 3 R m 2 X R 2 + ε [ m 3 X 2 R m 4 X 4 R m 5 X 2 R 2 ] = 0 (37)

个中, m 1 = 1 6 V + 1 2 a s λ t 0 2 V 3 m 2 = V m 3 = V 2 a s

m 4 = 1 2 a s + 2 V a s ( λ 1 ) m 5 = t 0 a s ( t 0 2 6 + λ t 0 2 t 0 a s ) λ V 4 + λ t 0 1 3 a s V 2 + V 24

对(37)作以下变换:

T = m 1 T X = m 1 X R = 1 m 2 R (38)

取得含有校订项 O ( ε ) 的KdV方程:

T R + X 3 R + R X R + ε 1 m 1 ( m 3 X 2 R m 4 m 1 X 4 R m 5 m 2 X 2 R 2 ) = 0 (39)

忽视(39)中的 O ( ε ) 项,取得标准的KdV方程,其孤立波解为:

R 0 ( X , T ) = A sech 2 [ A 12 ( X A 3 T ) ] (40)

个中,振幅A的取值将鄙人面给出。假定 R ( X , T ) = R 0 ( X , T ) + ε R 1 ( X , T ) ,推敲(39)中的 O ( ε ) 项,可以在孤立波解系中肯定式(39)的唯一解。由文献 [23] 得振幅满足的可解性条件为:

( R 0 , M [ R 0 ] ) d X R 0 M [ R 0 ] = 0 (41)

积分后,取得孤立波的振幅A为:

A = 21 m 1 m 2 m 3 5 m 2 m 4 24 m 1 m 5 (42)

故(39)的解变成:

R ( X , T ) = 1 m 2 A sech 2 A 12 m 1 ( n + V + A ε 2 3 ) t (43)

调换回原有变量,从而求得由孤立波表示的车头间距为:

Δ x n ( t ) = h c + A m 2 ( 1 a a s ) × sech { A 12 m 1 ( 1 a a s ) × [ n + ( V ( h ) + A 3 ( 1 a a s ) ) t ] } (44)

孤立波情势的密度波解描述了交通流的拥堵。假设孤立波的振幅越小,那么交通梗塞就越严重。从(44)分析发明:当 t 0 变大年夜时,车头间距 Δ x n ( t ) 变大年夜,交通就会越通行,进而增添交通拥堵的产生。

5. 结论

本文推敲驾驶员提早 t 0 时间获知限速信息,在经典最优速度模型的基本上给出了一种扩大的最优速度模型(6)。

应用线性稳定性办法,取得模型(6)的线性稳定判据,注解驾驶员提早 t 0 时间获知限速信息的影响使得交通流的稳定区域明显扩大年夜。

应用约化摄动法,分别导出了在稳定区域、亚稳态区域和不稳定区域中的交通密度波方程,即Burgers方程、KdV方程和mKdV方程。经过过程它们的孤波解和扭结波解分析得出,随着驾驶员提早获知限速信息的时间 t 0 越长,交通流稳定区域增大年夜,注解拥堵景象会取得很大年夜的减缓,从而更能确保交通安然通畅。

申谢

感激审稿人和编辑部供给的有益建议。

基金项目

国度天然迷信基金项目(赞成号:11162020)赞助的课题。

文章援用:
和光珠, 化存才. 推敲限速的最优速度模型的稳定性与孤波[J]. 力学研究, 2019, 8(3): 187-196. https://doi.org/10.12677/IJM.2019.83021

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