IJM  >> Vol. 8 No. 3 (September 2019)

    刚体空间活动的动力学方程的结合推导
    United Derivation of Dynamical Equations for Rigid Body Spatial Motion

  • 全文下载: PDF(498KB)    PP.197-203   DOI: 10.12677/IJM.2019.83022  
  • 下载量: 45  浏览量: 86  

作者:  

肖国峰:中国迷信院武汉岩土力学研究所,岩土力学与工程国度重点实验室,湖北 武汉

关键词:
刚体动力学刚体普通活动牛顿欧拉方程随便任性基点全局惯性参考系Rigid Body Dynamics Rigid Body General Motion Newton Euler Equation Arbitrary Base Point Global Inertial Reference Frame

摘要:

本文推导出相对随便任性基点刚体动力学方程的一种更简洁的情势。推导过程是以质点系动力学实际为基本的,它是一个比动量定理和角动量定理更根本的实际条件。在现有的动力学方程中,线加快度和角加快度是相互耦合的,这招致了求解方程极端艰苦,特别是在高速改变的条件下。本文经过过程平移方程和改变方程的联立推导,将线加快度和角加快度解耦。基于推导过程,评论辩论了与现无情势的接洽关系,陈述了与现有推导过程的重要差别。

Dynamical equations for rigid body spatial motion are derived from Dynamical equations of system of particles, which is a more fundamental theoretical basis than the momentum theorem and angular momentum theorem. Linear acceleration and angular acceleration are coupled with each other in the present dynamical equations which lead to solve the equation is extremely difficult, especially under conditions of high speed rotation. The derivation coupled the translational for-mulation and the rotational formulation, and uncoupled the linear acceleration and angular ac-celeration. Based on the derivation process, the relationship between the equations and the exist-ing forms is discussed; the main differences from the existing derivation process are stated.

1. 引言

刚体空间普通活动的动力学描述 [1] ,是由平移(动力学)方程和改变(动力学)方程等两个方程的“组合”来停止描述的,平移方程和改变方程合称为描述刚体普通活动的刚体动力学方程。

刚体动力学方程的情势推导大年夜致经历了三个阶层。第一阶段,动力学方程由惯性参考系中描述质点系质心平移活动的质心活动定理 [2] ,和连体参考系中描述刚点定点改变活动的坐标情势的欧拉方程停止组合来停止描述的 [3] [4] 。第二阶段,Wittenburg [5] 推导出惯性系中基于随便任性基点的改变方程。如许,平移方程和改变方程就都可以在惯性系中停止同一描述。第三阶段,Featherstone [6] 、李洲圣 [7] 推导了惯性系中基于随便任性点的平移方程。

由于线加快度和角加快度的耦合,第三阶段推导出的方程很难直策应用于多刚体动力学的建模,今朝的主流办法 [8] 是将其全体转换到连体参考系中停止求解。将惯性系的原点平移至质心处,将线加快度和角加快度停止解耦,也是一种较为经常使用的门路 [9] 。然则,这类情势的方程倒霉于定点陀螺、翻身陀螺、陀螺仪等刚体的数值求解 [7] 。本文将推导惯性系下基于随便任性基点的解耦的动力学方程。

2. 质点系动力学方程概要

质点系是指由很多个相互接洽着的质点所构成的体系 [2] 。沈惠川和李书平易近 [2] 对证点系停止了极其精华精辟的表述。

推敲一个惯性系,其坐标系的原点标记为O。将惯性系作为相对运动的参考系,研究质点系相关于惯性系的活动。质点系中的全部质点标记为 k ( k = 1 , 2 , 3 , ) ,质点k的地位用矢量情势描述为rok;质点k所受的外力为Fk。个中,rok的下标o表示矢量的终点,k表示矢量的终点,两个点都是物质点。Fk的下标k表示矢量的终点,终点是无物质点标注的。这类标记格局是本文的默许格局。质点的速度和加快度定义为

r ˙ o k = v k (1)

v ˙ k = a k (2)

推导质点系动量定理和角动量定理的动力学方程 [2] 为

k m k a k = k F k (3)

k ( r o k × m k a k ) = k ( r o k × F k ) (4)

质点系力学中引入了质心的概念,其定义为

m r o c = k m k r o k (5)

式中,mk为质点k的质量,roc为从惯性系原点O至质心C的矢量,m为质点系的总质量,即

m = k m k (6)

3. 刚体动力学方程

本节将从式(3)和(4)出发,推导刚体普通活动的动力学方程。

3.1. 质点地位的分化

刚体是一种简化的质点系模型。刚体简化表述为:质点系外部的随便任性两个质点之间的间隔都保持不变的 。如许,在刚体外部随便任性选择一个基点i,质点k (k = 1, 2, 3, ∙∙∙)的地位矢量可以分化为两个部分

r o k = r o i + ρ i k (7)

式中,roi的长度随时而变,而ρik的长度不随时而变。在本文中商定,长度不变的矢量均采取ρ来表示。为了应用质心定义来化简方程,ρik停止二次分化

ρ i k = ρ i c + ρ c k (8)

如许,在惯性系外部,质点k的地位表示为

r o k = r o i + ρ i c + ρ c k (9)

将rok代入式(5)化简,取得一个关键的化简公式

k m k ρ c k = 0 (10)

在惯性系外部,刚体关于质心C点的迁移转变惯量为

(11)

式中,[ρck]×为ρck叉积运算对应的否决称矩阵左乘运算。

3.2. 质点速度与加快度的分化

基于Possion公式 [2] 定义的角速度,随便任性长度不变的矢量对时间求导,有

ρ ˙ i k = ω × ρ i k ρ ˙ i c = ω × ρ i c ρ ˙ c k = ω × ρ c k } (12)

将式(9)两端对时间求导,取得质点速度的分化式

v k = v i + ω × ( ρ i c + ρ c k ) (13)

将上式两端再次求导,取得质点加快度的分化式

a k = a i + ω ˙ × ( ρ i c + ρ c k ) + ω × [ ω × ( ρ i c + ρ c k ) ] (14)

按式(13)和(14)的推导过程,易推导出基点i和质心C点的加快度关系

a c = a i + ω ˙ × ρ i c + ω × ( ω × ρ i c ) (15)

3.3. 刚体动力学方程推导

起首,基于式(3)对式(4)停止化简。将式(9)代入式(4),有

k [ ( r o i + ρ i c + ρ c k ) × m k a k ] = k [ ( r o i + ρ i c + ρ c k ) × F k ] (16)

叉积满足分派律,有

r o i × ( k m k a k ) + ρ i c × ( k m k a k ) + k ( ρ c k × m k a k ) = r o i × ( k F k ) + ρ i c × ( k F k ) + k ( ρ c k × F k ) (17)

用roi和ρic分别叉乘式(3)的等号两端,有

r o i × ( k m k a k ) = r o i × ( k F k ) (18)

ρ i c × ( k m k a k ) = ρ i c × ( k F k ) (19)

将式(18)和式(19)代入式(17),化简得

k ( ρ c k × m k a k ) = k ( ρ c k × F k ) (20)

其次,推导刚体基于随便任性基点i的平移动力学方程。将式(14)代入式(3),有

k m k { a i + ω ˙ × ( ρ i c + ρ c k ) + ω × [ ω × ( ρ i c + ρ c k ) ] } = k F k (21)

叉积满足分派律,有

( k m k ) [ a i + ω ˙ × ρ i c + ω × ( ω × ρ i c ) ] + ω ˙ × ( k m k ρ c k ) + ω × [ ω × ( k m k ρ c k ) ] = k F k (22)

将式(6)和(10)代入上式化简,取得刚体基于点i的平移动力学方程

(23)

最后,推导刚体的扭迁移转变力学方程。将式(14)代入式(20),得

k ( ρ c k × m k ( a i + ω ˙ × ( ρ i c + ρ c k ) + ω × ( ω × ( ρ i c + ρ c k ) ) ) ) = k ( ρ c k × F k ) (24)

叉积满足分派律,有

( k m k ρ c k ) × ( a i + ω ˙ × ρ i c + ω × ( ω × ρ i c ) ) + k ( m k ρ c k × ( ω ˙ × ρ c k ) ) + k ( m k ρ c k × ( ω × ( ω × ρ c k ) ) ) = k ( ρ c k × F k ) (25)

式(25)左端第一项,将式(10)代入后,得零。式(25)左端第二项,将ρck叉积运算转换成对应的否决称矩阵左乘运算,得

k ( m k ρ c k × ( ω ˙ × ρ c k ) ) = I c ω ˙ (26)

式(26)左端第三项,应用Jacobi恒等式,有

(27)

将上式代入式(26)左端第三项

(28)

将式(26)和式(28)代入式(25),取得刚体扭迁移转变力学方程

I c ω ˙ + ω × ( I c ω ) = k ( ρ c k × F k ) (29)

联立式(23)和式(29),取得惯性系中基于随便任性基点i的描述刚体空间普通活动的动力学方程

m [ a i + ω ˙ × ρ i c + ω × ( ω × ρ i c ) ] = k F k (30a)

I c ω ˙ + ω × ( I c ω ) = k ( ρ c k × F k ) (30b)

将式(15)代入式(30a),取得惯性系中基于随便任性基点i的描述刚体空间普通活动的动力学方程的更简洁情势

a c = a i + ω ˙ × ρ i c + ω × ( ω × ρ i c ) (31a)

m a c = k F k (31b)

I c ω ˙ + ω × ( I c ω ) = k ( ρ c k × F k ) (31c)

4. 评论辩论

4.1. 与现有方程的关系

式(30a)是Featherstone [6] 和李洲圣 [7] 推导的平移方程的情势。将式(30a)简化为基于质心点的情势(31b)的推导过程,现有推导过程的方法是:在惯性系中新建一个参考系(标记为rfB),rfB的坐标系原点固定在刚体的质心点处,rfB的坐标系的3个基矢量平行于惯性系的3个基矢量。由于刚体的质心点是一个(相关于原惯性系的)活动的物质点,所以,rfB是一个(相关于原惯性系的)活动着的参考系。式(31a)和(31b)联立的本质是:不须要在原惯性系中建立一个新的活动着的参考系,这两式的联立便可以描述原惯性系中刚体基于随便任性基点i的平移活动。

式(31c)平日被认为只在rfB中才能成立。惯性系中基于随便任性基点i,Wittenburg [5] 推导的情势为

ρ i c × m a i + I i ω ˙ + ω × ( I i ω ) = ρ i c × ( k F k ) + k ( ρ c k × F k ) (32)

式中,Ii为惯性系中刚体关于矩心i的迁移转变惯量。式(32)与Wittenburg的公式的写法差别在于:Wittenburg将式(32)的右端简记为(关于矩心i的)力矩符号。根据迁移转变惯量在矩心点i和矩心点c之间的切换公式

I i = m [ ρ i c ] × 2 + I c (33)

将上式代入式(32),取得Featherstone [6] 和李洲圣 [7] 推导的情势

ρ i c × m a i + ( I c m [ ρ i c ] × 2 ) ω ˙ + ω × ( ( I c m [ ρ i c ] × 2 ) ω ) = ρ i c × ( k F k ) + k ( ρ c k × F k ) (34)

式中,为[ρic]×和[ρic]×的矩阵乘积。将式(34)停止重新整顿,得

ρ i c × m a i m [ ρ i c ] × 2 ω ˙ m ω × ( [ ρ i c ] × 2 ω ) + I c ω ˙ + ω × ( I c ω ) = ρ i c × ( k F k ) + k ( ρ c k × F k ) (35)

将[ρic]×运算转换为ρic叉乘运算,式(35)的第一、二和三项可变形为

ρ i c × m a i m [ ρ i c ] × 2 ω ˙ m ω × ( [ ρ i c ] × 2 ω ) = ρ i c × m [ a i + ω ˙ × ρ i c + ω × ( ω × ρ i c ) ] (36)

用ρic叉乘式(30a)的两端,有

ρ i c × m [ a i + ω ˙ × ρ i c + ω × ( ω × ρ i c ) ] = ρ i c × ( k F k ) (37)

将式(36)代回式(35),并应用式(37)停止化简,得

I c ω ˙ + ω × ( I c ω ) = k ( ρ c k × F k ) (38)

明显,式(38)就是式(31c),Featherstone和李洲圣的改变方程情势,在满足式(37)的条件下,与(31c)是等价的。经过过程推导可以发明,在满足式(31a)和式(31b)的条件下,Wittenburg、Featherstone和李洲圣的改变方程都可以进一步化简为更加简洁的式(31c)的情势。是以,式(31c)并不是只在rfB中才能成立,当它与式(31a)和式(31b)联立时,在惯性系中也是成立的。

4.2. 与现有推导的重要差别

现有推导过程多种多样,本末节仅评论辩论本文推导过程的独特的地方。

起首,现有推导过程主如果从质点系的动量定理和角动量定理为出发点的,而质点系动量定理和角动量定理的推导是以质点系动力学方程(3)和(4)为出发点,而本文推导过程是直接以质点系动力学方程(3)和(4)为出发点的,绕开了质点系动量定理和角动量定理。

其次,现有推导过程当中,物质点的地位矢量r和ρ的右下标的标记采取了简化情势,仅标记了矢量的终点;而本文推导时矢量的标记采取终点和终点同时标记的情势。当一个矢量不标记终点时,它的默许终点的坐标系的原点,这使描述刚体活动的基点从随便任性点i向质心C点切换时,须要新建一个rfB参考系。本文的推导过程只须要一个参考系,即运动的惯性参考系。

最后,本文的推导过程没有引入力矩的概念,现有推导过程大年夜多都应用了力矩的概念。力矩的量值与矩心的选择有关,力矩在不合矩心之间可以采取切换公式停止转换。没有应用力矩概念,使本文的推导过程不须要应用切换公式,也使平移方程和改变方程之间的接洽关系性更加清楚。这个特点重要表如今式(18)、式(19)和式(37)的推导中。

4.3. 刚体普通活动的表述方法

平日,刚体空间普通活动表述为 [10] :随基点i的平移活动和绕基点i的改变活动的分解(或组合)。个中,“分解”或“组合”的语义表述,包含着平移活动和改变活动是两种相互自力的活动情势,只要经过过程同一个基点,才能完全地描述刚体的普通活动。正是基于这类思路,Featherstone和李洲圣推导动力学方程,都是采取了单一的、非质心的基点来描述刚体的普通活动。其成果是,线加快度量和角加快度量是相互耦合的。

现实上,刚体的改变活动与基点是有关的,角加快度量是无需与线活动量停止耦合的。本文从接洽关系性角度推导的动力学方程,线加快度与角加快度是解耦的,二者的接洽只在于合营肯定着刚体内随便任性一点i的线加快度(即式(31a))。很多学者 [11] [12] [13] [14] 评论辩论和证清楚明了,刚体的角加快度与基点的选择是有关的。这意味着,不论选择的基点若何选择,动力学方程式(31)、式(32)和式(34)解算出的角加快度值是分歧的。所以,改变活动与基点的选择是有关的,刚体空间普通活动可以更清楚的表述为:改变活动和随随便任性基点i的平移活动的结合。

5. 停止语

在惯性系下,本文推导了刚体空间普通活动的动力学方程的更简洁的解耦情势。推导过程从质点系动力学方程出发,推导过程比较清楚。经过过程评论辩论,梳理了现有的两种方程的情势之间的接洽关系和差别。

刚体动力学方程是一个非线性的常微分方程。既使在解耦的条件下,数值求解的艰苦也很大年夜。今朝,在多体动力学研究范畴重要采取了耦合情势的动力学方程,这使得数值积分的精确度很难取得满足,特别是面对长时间、高速迁移转变的工程成绩时。本文推导的解耦情势,关于长时间、高速迁移转变等工程成绩的更精确数值求解供给了实际基本。

文章援用:
肖国峰. 刚体空间活动的动力学方程的结合推导[J]. 力学研究, 2019, 8(3): 197-203. https://doi.org/10.12677/IJM.2019.83022

参考文献

[1] 洪嘉振. 关于刚体平面活动动力学方程——实际力学若干概念的思虑[J]. 力学与实际, 2015, 37(6): 731-736.
[2] 沈惠川, 李书平易近. 经典力学[M]. 合肥: 中国迷信技巧大年夜学出版社, 2006.
[3] 刘延柱, 潘振宽, 戈重生. 多系一切动力学[M]. 第二版. 北京: 高等教导出版社, 2014.
[4] 洪嘉振. 计算多系一切动力学[M]. 北京: 高等教导出版社, 1999.
[5] Wittenburg, J. (2008) Dynamics of Multibody Systems. Springer, Berlin Heidelberg.
[6] Featherstone, R. (2008) Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer US, Boston.
https://doi.org/10.1007/978-1-4899-7560-7
[7] 李洲圣. 陀螺动力学仿真研究,翻身陀螺[J]. 软件, 2014, 35(5): 73-84.
[8] Eberhard, P. and Schiehlen, W. (2005) Computational Dynamics of Multibody Systems: History, Formalisms, and Applications. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 1, 3-12.
https://doi.org/10.1115/1.1961875
[9] Schiehlen, W. (1997) Multibody System Dynamics: Roots and Perspectives. Multibody System Dynamics, 1, 149-188.
https://doi.org/10.1023/A:1009745432698
[10] Hibbeler, R.C. 动力学[M]. 李俊峰, 袁长清, 吕敬, 译. 北京: 机械工业出版社, 2014.
[11] 张戡. 平面活动刚体的角速度与基点选择有关的证明[J]. 大年夜学物理, 1982, 1(12): 4-5.
[12] 秦家桦. 对“平面活动的刚体的角速度与基点选择有关的证明”一文的弥补[J]. 大年夜学物理, 1984, 3(3): 51-27.
[13] 王希凡. 刚体角速度和角加快度与基点选择有关的证明[J]. 大年夜学物理, 1990, 9(12): 43.
[14] 张明影. 关于刚体迁移转变的角速度和角加快度的评论辩论[J]. 西安航空技巧高等专科黉舍学报, 2002, 20(1): 49-50.